Суть каждого принимаемого руководством решения — выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. Платежная матрица — это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей.
По словам Н. Пола Лумбы: «Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу», как показано на рис. 8. Слова «в сочетании с конкретными обстоятельствами» очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным.
В целом платежная матрица полезна, когда:
1. Имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.
2. То, что может случиться, с полной определенностью не известно.
3. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива и какие события в действительности имеют место.
Кроме того, руководитель должен располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Руководитель редко имеет полную определенность. Но также редко он действует в условиях полной неопределенности. Почти во всех случаях принятия решений руководителю приходится оценивать вероятность или возможность события. Из предшествующего рассмотрения напомним, что вероятность варьирует от 1, когда событие определенно произойдет, до 0, когда событие определенно не произойдет. Вероятность можно определить объективно, как поступает игрок в рулетку, ставя на нечетные номера. Выбор ее значения может опираться на прошлые тенденции или субъективную оценку руководителя, который исходит из собственного опыта действий в подобных ситуациях.
Если вероятность не была принята в расчет, решение всегда будет соскальзывать в направлении наиболее оптимистических последствий. Например, если исходить из того, что инвесторы на удачной кинокартине могут иметь 500% на инвестированный капитал, а при вложении в торговую сеть — в самом благоприятном варианте всего 20%, то решение всегда должно быть в пользу кинопроизводства. Однако если взять в расчет, что вероятность большого успеха кинофильма весьма невысока, капиталовложения в магазины становятся более привлекательными, поскольку вероятность получения указанных 20% очень значительна. Если взять более простой пример, то выплаты при ставках в заезде на длинную дистанцию на скачках выше, поскольку выше вероятность, что не выиграешь вообще ничего.
Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения — центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии — это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 — 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 — 3000 долл., то ожидаемое значение составит:
5000 (0,5) + 10 000 (0,2) + 3000 (0,3) = 5400 долл.
Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может установить, какой выбор наиболее привлекателен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению. Исследования показывают: когда установлены точные значения вероятности, методы дерева решений и платежной матрицы обеспечивают принятие более качественных решений, чем традиционные подходы.
Решение платежной матрицы. Платежная матрица
Рассмотрим конечную игру, в которой игрок («мы») имеет стратегий, а игрок В («противник») — стратегий. Такая игра называется игрой Будем обозначать наши стратегии стратегии противника — Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: мы выбрали противник — Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий однозначно определяет исход игры — наш выигрыш (положительный или отрицательный); обозначим его
Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий есть величина случайная, зависящая от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша. Мы будем обозначать одним и тем же знаком как сам выигрыш (в игре без случайных ходов), так и его математическое ожидание (в игре со случайными ходами).
Предположим, что нам известны значения при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют нашим стратегиям а столбцы — стратегиям противника
Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры.
Заметим, что построение платежной матрицы, особенно для игр с большим количеством стратегий, может само по себе представлять весьма непростую задачу.
Например, для шахматной игры число возможных стратегий так велико, что построение платежной матрицы (даже с привлечением вычислительных машин) является пока практически неосуществимым. Однако в принципе любая конечная игра может быть приведена к матричной форме.
Рассмотрим несколько элементарных примеров игр и построим для них платежные матрицы.
Пример 1. Игра «поиск»,
Имеется два игрока А и В; игрок А прячется, а В его ищет. В распоряжении А имеется два убежища (I и II), любое из которых он может выбрать по своему усмотрению. Условия игры таковы: если В найдет А в том убежище, где А спрятался, то А платит ему штраф 1 руб; если В не найдет А (т. е. будет искать в другом убежище), то он сам должен заплатить А такой же штаф. Требуется построить платежную матрицу.
Читать еще: Халед хоссейни бегущий за ветром краткое описание.
Решение. Игра состоит всего из двух ходов, оба — личные. У нас (А) две стратегии:
прятаться в убежище I,
прятаться в убежище II.
У противника (В) тоже две стратегии:
— искать в убежище I,
— искать в убежище II.
Перед нами игра Ее матрица имеет вид:
На примере Этой игры, как она ни элементарна, можно уяснить себе некоторые важные идеи теории игр.
Предположим сначала, что данная игра выполняется только один раз (играется единственная «партия»). Тогда, очевидно, нет смысла говорить о преимуществах тех или других стратегий — каждый из игроков может с равным основанием принять любую из них. Однако при многократном повторении игры положение меняется.
Действительно, допустим, что мы (игрок А) выбрали какую-то стратегию (скажем, ) и придерживаемся ее. Тогда, уже по результатам первых нескольких партий, противник догадается о нашей стратегии, начнет всегда искать в убежище I и выигрывать. То же будет, если мы выберем стратегию . Нам явно невыгодно придерживаться одной какой-то стратегии; чтобы не оказаться в проигрыше, мы должны чередовать их. Однако, если мы будем чередовать убежища I и II в какой-то определенной последовательности (скажем, через одну партию), противник тоже догадается об этом и ответит наихудшим для нас образом.
Очевидно, надежным способом, гарантирующим нас от верного проигрыша, будет такая организация выбора в каждой партии, когда мы сами его наперед не знаем. Например, можно бросить монету, и, если выпадет герб, выбрать убежище I, а если решка — убежище II.
Печальное положение, в котором оказался игрок А (чтобы не проигрывать, выбирать убежище случайным образом), очевидно, присуще не только ему, но и его противнику В, для которого справедливы все вышеприведенные рассуждения. Оптимальной стратегией каждого оказывается «смешанная» стратегия, в которой две возможные стратегии игрока чередуются случайным образом, с одинаковыми вероятностями.
Таким образом, мы путем интуитивных рассуждений подошли к одному из существенных понятий теории игр — к понятию смешанной стратегии т. е. такой, в которой отдельные «чистые» стретегии чередуются случайным образом с какими-то вероятностями. В данном примере из соображений симметрии ясно, что стратегии должны применяться с одинаковыми вероятностями; в более сложных примерах решение может быть далеко не тривиальным.
Пример 2. Игра «три пальца».
Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга показывают один, два или три пальца. Выигрыш или проигрыш решает общее число показанных пальцев. Выигрыш (в рублях) равен этому числу; если оно четное — выигрывает А, а В ему платит; если нечетное — наоборот. Требуется построить платежную матрицу.
Решение. У каждого игрока по три стратегии: показывать один, два или три пальца. Матрица игры 3×3 имеет вид:
Проанализируем ситуацию. Очевидно, на любую нашу стратегию противник может ответить наихудшим для нас образом. Например, если мы выбирем он ответит нам и мы проиграем На стратегию он нам ответит и мы проиграем 5 руб.; на стратегию и мы снова проиграем 5 руб. Очевидно, некоторое преимущество имеет стратегия (при ней проигрыш минимален), но и она для нас явно невыгодна, так как всегда ведет к проигрышу.
Однако попробуем стать на точку зрения второго игрока (В). Его положение тоже не из блестящих. Если он выберет мы ответим ему и он отдаст нам 4 руб; если — мы ответим и снова получим 4 руб; также и на у нас есть ответ приводящий к еще худшему результату: В проиграет 6 руб.
Выходит, игра невыгодна ни тому, ни другому из игроков: каждый из них, выбрав какую-то определенную стратегию, осужден на проигрыш! Это наводит на мысль, что и здесь выход — в применении смешанных стратегий; действительно, так оно и есть, но в данном примере дело обстоит не так просто, как в предыдущем, и чтобы найти оптимальные стратегии сторон, нужно научиться решать игры. В дальнейшем мы вернемся к этому примеру и найдем его решение.
Пример 3. Игра «вооружение и самолет». В нашем распоряжении имеются три вида вооружения: у противника — три вида самолетов: Наша задача — поразить самолет; задача противника — сохранить его непораженным. Наш личный ход — выбор типа вооружения; личный ход противника — выбор самолета для боевых действий. В данной игре имеется еще и случайный ход — применение вооружения. Вооружением самолеты поражаются соответственно с вероятностями 0,5, 0,6, 0,8; вооружением — с вероятностями 0,9, 0,7, 0,8; вооружением вероятностями 0,7, 0,5, 0,6. Построить матрицу игры и проанализировать ситуацию.
Решение. Матрица игры 3×3 имеет вид: где выигрыш — вероятность поражения самолета (мы стремимся его максимизировать, а противник — минимизировать).
Над этой игрой стоит подумать, так как она обладает некоторыми особыми свойствами, незаметными на первый взгляд.
Станем сперва на точку зрения игрока А и переберем одну за другой все его стратегии. На противник ответит нам и мы выиграем 0,5; на и мы выиграем 0,7; на — снова и мы выиграем 0,5. Очевидно, некоторое преимущество над другими имеет стратегия А 2 — при ней мы выиграем больше, а именно 0,7.
Станем теперь на точку зрения противника; не забудем, что он хочет отдать поменьше! Пусть он выбирает — мы отвечаем ему и он отдает 0,9; на мы отвечаем ему и он отдает 0,7; на и он отдает 0,8. Естественно, он предпочтет чтобы отдать только 0,7.
Мы видим, что в данном примере стратегии с выигрышем 0,7 являются наивыгоднейшими сразу для обеих сторон; игроку А выгоднее всего выбирать стратегию игроку В —-стратегию и максимальный выигрыш А совпадает с минимальным проигрышем В. Достигнуто как бы положение равновесия: если А выберет стратегию то В не может найти лучшего выхода, чем и наоборот: если В выберет стратегию то не может найти лучшего выхода, чем .
Читать еще: М балакирев произведения. История жизни
В дальнейшем мы увидим, что пара стратегий, обладающих таким свойством, являются оптимальными стратегиями сторон и образуют так называемое решение игры.
Решение платежной матрицы. Платежная матрица
Платежная матрица
Практически любой метод принятия решений, используемый в управлении, можно технически рассматривать как разновидность моделирования. Однако по традиции термин модель обычно относится лишь к методам общего характера, только что описанным выше, а также к многочисленным их специфическим разновидностям. В дополнение к моделированию, имеется ряд методов, способных оказать помощь руководителю в поиске объективно обоснованного решения по выбору из нескольких альтернатив той, которая в наибольшей мере способствует достижению целей. Под заголовок данного раздела попадают платежная матрица и дерево решений, описанные ниже. Для облегчения использования этих методов и вообще повышения качества принимаемых решений руководство пользуется прогнозированием. Наиболее распространенные методы прогнозирования рассмотрены в следующем разделе. Наша цель заключается в том, чтобы помочь понять суть этих инструментов, а не научить ими пользоваться. [c.236]
Суть каждого принимаемого руководством решения — выбор наилучшей из нескольких альтернатив по конкретным установленным заранее критериям. (Если вы захотите вспомнить рассмотрение ограничений и критериев для принятия решений, обратитесь к гл. 6). Платежная матрица — это один из методов статистической теории решений, метод, который может оказать помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Он особенно полезен, когда руководитель должен установить, какая стратегия в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. [c.236]
В целом платежная матрица полезна, когда [c.237]
Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения — центральной концепции платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта стратегии — это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности. К примеру, если вы считаете, что вложение средств (как стратегия действий) в киоск для торговли мороженым с вероятностью 0,5 обеспечит вам годовую прибыль 5000 долл., с вероятностью 0,2 — 10 000 долл. и с вероятностью 0,3 — 3000 долл., то ожидаемое значение составит [c.237]
Методом дерева решений можно пользоваться в ситуациях, подобных описанной выше, в связи с рассмотрением платежной матрицы. В этом случае предполагается, что данные о результатах, вероятности и т.п. не влияют на все последующие решения. Однако дерево решений можно построить под более сложную ситуацию, когда результаты одного решения влияют на последующие решения. Таким образом, дерево решений — это полезный инструмент для принятия последовательных решений. [c.238]
Метод платежной матрицы полезен, когда требуется установить, какая альтернатива способна внести наибольший вклад в достижение целей. Ожидаемое значение последствий (сумма возможных значений, умноженных на их вероятности) необходимо определить прежде, чем составлять платежную матрицу. [c.244]
Рассмотрите следующие методы принятия решений анализ безубыточности, метод платежной матрицы, метод ожидаемых значений и метод дерева решений. [c.245]
В табл. 12.2 сведены результаты различных возможных решений по ценообразованию. Решая, какую цену установить, две фирмы играют в некооперативную игру — каждая фирма самостоятельно решает, как ей лучше поступить, принимая в расчет своего конкурента. Табл. 12.2 называют платежной матрицей для этой игры, так как она показывает прибыль каждой фирмы, если известны ее решение и решение ее конкурента. Например, верхний левый угол платежной матрицы говорит нам, что, если обе фирмы назначат цену 4 долл., каждая фирма получит прибыль 12 долл. Верхний правый угол показывает, что, если фирма 1 назначает цену в 4 долл., а фирма 2 — в 6 долл., фирма 1 получает прибыль в 20 долл., а фирма 2 — в 4 долл. [c.355]
ТАБЛИЦА 12.2 Платежная матрица для игры по протезированию цен [c.355]
Данная платежная матрица может прояснить ответ на первоначальный вопрос почему фирмы не действуют сообща и тем самым не получают более высокие прибыли, даже если они и имеют возможность договориться В данном случае договор означает, что обе фирмы назначат цену в 6 долл. вместо 4 долл. и получат при этом прибыль 16 долл. вместо 12 долл. Проблема заключается в том, что каждая фирма всегда старается выиграть, назначая цену в 4 долл., независимо от того, как поступает ее конкурент. Как показывает платежная матрица, [c.355]
Рассматривая предприятие (Р,) и природу (Р2) в качестве двух игроков, получим так называемую платежную матрицу следующего вида (табл. 6.11) [c.173]
Из платежной матрицы видно, что игрок Р, (предприятие) никогда не получит дохода меньше 6800. Но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) предприятия будет составлять 26000 или 28400. Если игрок Р, будет постоянно применять стратегию А, а игрок Р2 — стратегию Д, то выигрыш снизится до 6800. То же самое произойдет, если игрок Р, будет постоянно применять стратегию В, а игрок Р2 —- стратегию С. Отсюда вывод, что наибольший доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию В. Такая стратегия называется смешанной, а ее элементы (А и В) — чистыми стратегиями. [c.174]
Рассматривая АО Силуэт и природу в качестве двух игроков /, и Р2, получим по итогам произведенных расчетов так называемую платежную матрицу следующего вида (с. 53). [c.52]
По данным платежной матрицы игрок Р1 (АО Силуэт ) никогда не получит прибыль меньше 136 000 руб. Если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то прибыль АО (выигрыш) будет составлять 568 000 или 520 000 руб. Если игрок Р будет постоянно принимать стратегию А, а игрок Р2 — стратегию Д, то прибыль снизится до 136 000 руб. То же самое будет, если игрок Р постоянно принимает стратегию В, а игрок Р2 — страте- [c.52]
Матричные игры. Для выбора решения применяется платежная матрица, или матрица решений. Она представляет собой таблицу, в которой по вертикали указываются возможные решения, а по горизонтали — состояния среды, на которую нельзя влиять. На пересечении строк и столбцов указывают результаты решения при данном состоянии среды — платежи . Они могут быть выражены в терминах издержек, прибыли, поступлений денежных средств. [c.74]
Читать еще: Хвала! Он русскому народу.
Пример. Суточный спрос на скоропортящийся продукт в тоннах выражается следующим распределением (спрос/вероятность) (0,0/0,2) (1,0/0,3) (2,0/0,4) (3,0/0,5). Пусть себестоимость тонны — 3 тыс. руб., продажная цена — 5 тыс. руб., прибыль за единицу— 2 тыс. руб. Магазин может держать запас в 0, 1,2 или 3 т. Положим, что дневной запас не может быть продан завтра, и остатки целиком списываются в убытки. Платежная матрица показана в табл. 7.2. Анализ с полной информацией приведен в табл. 7.3. [c.74]
Пусть торговое предприятие имеет т стратегий Т, Т ,. . Т , и имеется п возможных состояний природы Ль П2,. . Пп. Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем Ъц первой стороны для каждой пары стратегий Т, и TIj. Все показатели игры заданы платежной матрицей йу . [c.153]
Пример. Предприятие планирует производство двух изделий А, Б с неопределенным спросом, предполагаемый уровень которого характеризуется двумя состояниями I, П. В зависимости от этих состояний прибыль предприятия различна и определяется платежной матрицей [c.156]
Требуется определить объемы производства каждого изделия, при котором предприятию гарантируется средняя величина при любом состоянии спроса. Решение. Проверка платежной матрицы на наличие седловой точки [c.156]
Пусть задана платежная матрица игры [c.157]
Условие игры обычно записывается в форме платежной матрицы, или матрицы игры (табл. 3.33). [c.148]
Пусть платежная матрица задана в качественных терминах. Данные [c.15]
Анализ платежных матриц позволяет сделать следующие выводы при неполной информации наилучший выбор — держать запас в 2 т с наибольшим значением прибыли 1,90 тыс. руб. Это лучшее, что вы можете сделать при ограниченной информации. [c.117]
В практике управления широко используются такие методы, как платежная матрица дерево целей или решений. Наиболее известным из них является метод дерева решений для сравнения и оценки выдвинутых альтернатив. Особенно данный метод полезен в ситуациях, когда менеджер имеет дело с неопределенностью. Этот метод дает общую картину решения выборы, риски и исходы, которые могут иметь место. Более того, данный метод помогает открыть новые альтернативы, которые ранее могли быть опущены по каким-то причинам. [c.545]
Приведенные выше данные платежной матрицы отражают оценку последствий разных вариантов действий. Дополнительно представлены некоторые предположения относительно вероятности тумана который скажется на самолето, но не на поезде) и ясной погоды. Мы видим, что вероятность ясной погоды в 10 рлз выше, чем ту лана. Далее, матрица показывает, что, действуя по первому варианту стратегии (самолет), если погода будет хорошей (9 шансов из 10), торговый агент по оценке продаст товаров на 4500 долл. (это и есть результат или последствия). Три других варианта последствий можно объяснить таким же образом, мы опускаем эти рассуждения. [c.236]
По словам Н. Пола Лумбы Платеж представляет собой денежное вознаграждение или полезность, являющиеся следствием конкретной стратегии в сочетании с конкретными обстоятельствами. Если платежи представить в форме таблицы (или матрицы), мы получаем платежную матрицу 24, как показано на рис. 8.4. Слова в сочетании с конкретными обстоятельствами очень важны, чтобы понять, когда можно использовать платежную матрицу и оценить, когда решение, принятое на ее основе, скорее всего будет надежным. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически свершаются. Если такое событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизбежно будет иным. [c.237]
Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может установить, какой выбор наиболее привлекателен при заданных критериях. Он будет, конечно, соответствовать наивысшему ожидаемому значению. Исследования показывают когда установлены точные значения вероятности, методы дерева решений и платежной матрицы обеспечивают принятие более качественных решений, чем традиционные подходы25. [c.237]
ПЛАТЕЖНАЯ МАТРИЦА (PAYOFF MATRIX) — статистический метод принятия решений, помогающий руководителю выбирать из возможных альтернатив. [c.690]
Возможйые варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу — платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы — стратегиям игрока В, qtj называется ценой игры (табл. 8.23). [c.150]
По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы минимальный выигрыш ВТ1 = minBy, то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка максимальный выигрыш — то наилучшее, что дает выбор i-ro варианта В «» = max bV. [c.153]
Решение. Прежде всего проверяется имеет ли исходная платежная матрица седловую точку ot = max minay = max (22,21,20) = 22 — нижняя цена [c.156]
Суждения о предпочтительности альтернатив выносится по результатам их сравнения или оценки. Г позитивные и негативные стороны каждой из альтернатив и устанавливается некий компромисс, поз] сопоставление альтернативы с ранее принятым стандартом, критерием. Для этого используют критериальное сравнение Кепнера -Трегое, платежная матрица, дерево целей или решений, а также i теориях вероятности, предпочтений, полезности и др. Наиболее распространенным методом сравне) является метод дерева решений , особенно в ситуациях неопределенных, при наличии неуправляемы [c.87]
ИГРА С «ПРИРОДОЙ» [game with nature] — игра, в которой имеется только один игрок, причем исход ее зависит не только от его решений, но и от состояния «природы», т.е. не от сознательно противодействующего противника, но от объективной, невраждебной действительности. Платежная матрица в этом случае похожа на показанную в ст. «Матрица игры», но здесь игрок X — это лицо, принимающее одно из т различных возможных решений, а игрок Y— «природа», принимающая и возможных состояний. При выборе решения игроком X могут использоваться различные критерии, напр. [c.112]
Источники:
http://econom-lib.ru/1-58.php
http://scask.ru/q_book_rop.php?id=94
http://economy-ru.info/info/20907/
